Editions de l'Infini

Le grand public connaît de Helmholtz la figure du physicien et du physiologiste. Il ignore trop celle du philosophe et du mathématicien. Son influence sur la pensée mathématique et les fondements de la géométrie fut pourtant considérable. Les deux mémoires "Sur les fondements factuels de la géométrie" (1868) et "Sur le sens et la signification des axiomes géométriques" (1870) que nous éditons ici en français en sont l’illustration. Ces deux mémoires, parus respectivement en 1868 et en 1870, marquent en effet une avancée décisive dans l’histoire de la pensée. Pour la première fois sans doute depuis Kant s’y trouve posée à nouveau frais la question de la nature de l’espace et du fondement de la géométrie.

Dans un style limpide, Helmholtz y démontre la nécessité de l’expression riemannienne de la distance dans un espace à courbure constante, une fois admis le mouvement libre des solides. Mieux, il y démontre, après avoir pris connaissance du modèle de Beltrami, que la détermination de la géométrie de l’espace physique ne peut se faire sans l’adjonction à la géométrie d’une partie de la mécanique. On voit dès lors combien la réflexion engagée par Helmholtz porte loin. Elle permet de retrouver les conclusions de Riemann en les abordant d’un point de vue plus synthétique et, du même coup, d’invalider tout un pan de tradition qui, à la suite de Kant, s’était évertué à s’imposer comme le seul discours autorisé sur la géométrie. Par là-même, l’œuvre de Helmholtz sur les fondements de la géométrie s’impose comme véritablement fondatrice. Elle ouvre la voie à une présentation sui generis des concepts géométriques, dans laquelle la géométrie est affranchie des chaînes de l’intuition pure et des formes transcendantales de la sensibilité, et où la question de la nature de l’espace physique peut trouver à terme sa solution concrète.